1、三维不等式柯西定理：
(m₁²+m₂²+m₃²)(n₁²+n₂²+n₃²)≥(m₁n₁+m₂n₂+m₃n₃)²。
1、定理证明：
证明：
定义函数f(x)为:
f(x)=(m₁+n₁x)²+(m₂+n₂x)²,
将f(x)转化为二元函数的标准形式y=ax²+bx+c得
f(x)=(n₁²+n₂²)x²+2(m₁n₁+m₂n₂)x+(m₁²+m₂²)
因为f(x)≥0，所以它只有一个解或无解，即
Δ=4(m₁n₁+m₂n₂)²−4(n₁²+n₂²)(m₁²+m₂²)≤0
所以: (n₁²+n₂²)(m₁²+m₂²)≥(m₁n₁+m₂n₂)².
令函数f(x)=0，则每个平方项都必须为0，即
m₁+n₁x=0⇒x=−m₁/n₁,
m₂+n₂x=0⇒x=−m₂/n₂;
则要使函数有零点，即Δ=0,则必须有：
m₁/n₁=m₂/n₂,证毕。
1、※.若正数a,b,c,x,y,z满足a²+b²+c²=179,x²+y²+z²=77,求ax+by+cz的最小值。
解：直接使用上述柯西三维不等式有：
(a²+b²+c²)(x²+y²+z²)≥(ax+by+cz)²,
代入数值即可得：
179*77≥(ax+by+cz)²,即：
(ax+by+cz)²≤13783,
由于所有变量均为正数，则：
ax+by+cz≤√13783，
所以ax+by+cz的最小值为：√13783.
1、※.若正数x,y,z满足x²+y²+z²=285,求x+y+z的最小值。
解：使用柯西三维不等式有：
(x²+y²+z²) (a²+b²+c²)≥(x+y+z)², 即：
(x²+y²+z²) (1²+1²+1²)≥(x+y+z)²，则：
285*3≥(x+y+z)²,进一步有：
(x+y+z)²≤855，
所以正数x+y+z的最小值=3√95。
1、※.若a+b+c=67,求49a²+169b²+9c²的最小值。
解：使用上述不等式，出现和的平方，即已知条件转换为不等式右边和的平方，则所求代数式需要变形成两个三项式平方和的乘积。
49a²+169b²+9c²=(7a)²+(13b)²+(3c)²
进一步变形为：
[(7a)²+(13b)²+(3c)²][(1/7)²+(1/13)²+(1/3)²]，
≥[(7a/7)+(13b /13)+(3c/3)]²，
=(a+b+c)²=67²，即：
(49a²+169b²+9c²)*(10243/273²)≥67²，
所以：49a²+169b²+9c²≥(1/10243)*18291²。
1、※.若5x+10y+29z=361,求x²+y²+z²的最小值。
解：运用三维柯西不等式，有：
(x²+y²+z²)(5²+10²+29²)≥(5x+10y+29z)²,即：
(x²+y²+z²)(5²+10²+29²)≥361²,
(x²+y²+z²)*966≥361²,
x²+y²+z²≥361²/(966),
即：x²+y²+z²≥130321/966,
所以x²+y²+z²的最小值=130321/966。
