1、三维不等式柯西定理：
(x₁²+x₂²+x₃²)(y₁²+y₂²+y₃²)≥(x₁y₁+x₂y₂+x₃y₃)²。
1、定理证明：
证明：
定义函数f(x)为:
f(x)=(x₁+y₁x)²+(x₂+y₂x)²,
将f(x)转化为二元函数的标准形式y=ax²+bx+c得
f(x)=(y₁²+y₂²)x²+2(x₁y₁+x₂y₂)x+(x₁²+x₂²)
因为f(x)≥0，所以它只有一个解或无解，即
Δ=4(x₁y₁+x₂y₂)²−4(y₁²+y₂²)(x₁²+x₂²)≤0
所以: (y₁²+y₂²)(x₁²+x₂²)≥(x₁y₁+x₂y₂)².
令函数f(x)=0，则每个平方项都必须为0，即
x₁+y₁x=0⇒x=−x₁/y₁,
x₂+y₂x=0⇒x=−x₂/y₂;
则要使函数有零点，即Δ=0,则必须有：
x₁/y₁=x₂/y₂,证毕。
1、※.若正数a,b,c,x,y,z满足a²+b²+c²=171,x²+y²+z²=86,求ax+by+cz的最小值。
解：直接使用上述柯西三维不等式有：
(a²+b²+c²)(x²+y²+z²)≥(ax+by+cz)²,
代入数值即可得：
171*86≥(ax+by+cz)²,即：
(ax+by+cz)²≤14706,
由于所有变量均为正数，则：
ax+by+cz≤√14706，
所以ax+by+cz的最小值为：√14706.
1、※.若正数x,y,z满足x²+y²+z²=357,求x+y+z的最小值。
解：使用柯西三维不等式有：
(x²+y²+z²) (a²+b²+c²)≥(x+y+z)², 即：
(x²+y²+z²) (1²+1²+1²)≥(x+y+z)²，则：
357*3≥(x+y+z)²,进一步有：
(x+y+z)²≤1071，
所以正数x+y+z的最小值=3√119。
1、※.若a+b+c=216,求144a²+81b²+100c²的最小值。
解：使用上述不等式，出现和的平方，即已知条件转换为不等式右边和的平方，则所求代数式需要变形成两个三项式平方和的乘积。
144a²+81b²+100c²=(12a)²+(9b)²+(10c)²
进一步变形为：
[(12a)²+(9b)²+(10c)²][(1/12)²+(1/9)²+(1/10)²]，
≥[(12a/12)+(9b /9)+(10c/10)]²，
=(a+b+c)²=216²，即：
(144a²+81b²+100c²)*(949*6²/1080²)≥216²，
所以：144a²+81b²+100c²≥(1/949)*38880²。
1、
※.若32x+39y+21z=289,求x²+y²+z²的最小值。
解：运用三维柯西不等式，有：
(x²+y²+z²)(32²+39²+21²)≥(32x+39y+21z)²,即：
(x²+y²+z²)(32²+39²+21²)≥289²,
(x²+y²+z²)*2986≥289²,
x²+y²+z²≥289²/(2986),
即：x²+y²+z²≥83521/2986,
所以x²+y²+z²的最小值=83521/2986。
