1、三维不等式柯西定理：
(c₁²+c₂²+c₃²)(d₁²+d₂²+d₃²)≥(c₁d₁+c₂d₂+c₃d₃)²。
定理证明：
证明：
定义函数f(x)为:
f(x)=(c₁+d₁x)²+(c₂+d₂x)²,
将f(x)转化为二元函数的标准形式y=ax²+bx+c得
f(x)=(d₁²+d₂²)x²+2(c₁d₁+c₂d₂)x+(c₁²+c₂²)
因为f(x)≥0，所以它只有一个解或无解，即
Δ=4(c₁d₁+c₂d₂)²−4(d₁²+d₂²)(c₁²+c₂²)≤0
所以: (d₁²+d₂²)(c₁²+c₂²)≥(c₁d₁+c₂d₂)².
令函数f(x)=0，则每个平方项都必须为0，即
c₁+d₁x=0⇒x=−c₁/d₁,
c₂+d₂x=0⇒x=−c₂/d₂;
则要使函数有零点，即Δ=0,则必须有：
c₁/d₁=c₂/d₂,证毕。
2、※.若正数a,b,c,x,y,z满足a²+b²+c²=80,x²+y²+z²=95,求ax+by+cz的最小值。
解：直接使用上述柯西三维不等式有：
(a²+b²+c²)(x²+y²+z²)≥(ax+by+cz)²,
代入数值即可得：
80*95≥(ax+by+cz)²,即：
(ax+by+cz)²≤7600,
由于所有变量均为正数，则：
ax+by+cz≤2√1900，
所以ax+by+cz的最小值为：2√1900.
3、※.若正数x,y,z满足x²+y²+z²=282,求x+y+z的最小值。
解：使用柯西三维不等式有：
(x²+y²+z²) (a²+b²+c²)≥(x+y+z)², 即：
(x²+y²+z²) (1²+1²+1²)≥(x+y+z)²，则：
282*3≥(x+y+z)²,进一步有：
(x+y+z)²≤846，
所以正数x+y+z的最小值=3√94。
4、※.若a+b+c=284,求400a²+25b²+81c²的最小值。
解：使用上述不等式，出现和的平方，即已知条件转换为不等式右边和的平方，则所求代数式需要变形成两个三项式平方和的乘积。
400a²+25b²+81c²=(20a)²+(5b)²+(9c)²
进一步变形为：
[(20a)²+(5b)²+(9c)²][(1/20)²+(1/5)²+(1/9)²]，
≥[(20a/20)+(5b /5)+(9c/9)]²，
=(a+b+c)²=284²，即：
(400a²+25b²+81c²)*(1777*5²/900²)≥284²，
所以：400a²+25b²+81c²≥(1/1777)*51120²。
5、※.若34x+30y+18z=196,求x²+y²+z²的最小值。
解：运用三维柯西不等式，有：
(x²+y²+z²)(34²+30²+18²)≥(34x+30y+18z)²,即：
(x²+y²+z²)(34²+30²+18²)≥196²,
(x²+y²+z²)*595*2²≥196²,
x²+y²+z²≥196²/(595*2²),
即：x²+y²+z²≥1372/85,
所以x²+y²+z²的最小值=1372/85。
