1、设x+y=k，代入已知方程，得到关于x的一元二次方程，方程有实数根，则有判别式≥0,求得k的取值范围。
x^2+(k-x)^2=39
x^2+k^2-2kx+x^2=39
2x^2-2kx+k^2-39=0
判别式△=4k^2-8(k^2-39)≥0
-4k^2≥-8*39
k^2≤78，即：-√78≤k≤√78.
所以x+y的最大值为√78，最大值为-√78。
2、换元的目的就是减少不等式中变量的个数，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。利用三角函数换元，求得x+y的最大值。
由x^2+y^2=39，设x=√39cost，y=√39sint，则：
x+y=√39cost+√39sint
=√78(sint+π/4).
当(sint+π/4)=1时，x+y有最大值=√78；
当(sint+π/4)=-1时，x+y有最小值=-√78；
3、本步骤用到两个数平方和的不等式知识。
∵x^2+y^2≥[(x+y)^2]/2
∴(x+y)^2≤2(x^2+y^2)
即：
(x+y)^2≤78，则：
-√78≤x+y≤√78.
此时x+y最小值=-√78，最大值=√78。
4、直接根据已知条件，替换y，得到关于x的函数，并根据二次函数性质得xy的取值范围。
xy
=x√(39-x^2)
=±√[x^2(39-x^2)]
=±√[(39^2/4)-(x^4-39x^2+39^2/4)]
=±√[(39^2/4)-(x^2-39/2)^2].
则xy的最大值为39/2,最小值为-39/2.
5、本步骤是把函数变形为可以看做成二次函数的情形。
x^2+y^2=39
x^2+p^2/x^2=39
x^4-39x^2+p^2=0
判别式△=39^2-4p^2≥0,即：
p^2≤39^2/4
-39/2≤p≤39/2
此时得xy=p最大值=39/2，最小值=-39/2.
6、将xy表示成三角函数，进而得xy的取值范围。
由x^2+y^2=39，设x=√39cost，y=√39sint，则：
xy=√39cost*√39sint
=39*(1/2)sin2t
=(39/2)sin2t
当sin2t=1时，x+y有最大值=39/2；
当sin2t=-1时，x+y有最小值=-39/2.
7、∵x^2+y^2≥2√(x^2*y^2)=2|xy|
∴|xy|≤(x^2+y^2)/2=39/2
即：-39/2≤xy≤39/2.
8、 本题还可以理解为圆x^2+y^2=39上点的横坐标x，纵坐标y的和及乘积的最值问题。本题的圆的半径r=√39。
