1、设x+y=k，得到关于x的一元二次方程，方程有实数根，则有判别式≥0,求得k的取值范围。
x^2+(k-x)^2=41
x^2+k^2-2kx+x^2=41
2x^2-2kx+k^2-41=0
判别式△=4k^2-8(k^2-41)≥0
-4k^2≥-8*41
k^2≤82，即：-√82≤k≤√82.
2、设x=√41cost，y=√41sint，则：
x+y=√41cost+√41sint
=√82(sint+π/4).
当(sint+π/4)=1时，x+y有最大值=√82；
当(sint+π/4)=-1时，x+y有最小值=-√82；
3、不等式法
∵x^2+y^2≥[(x+y)^2]/2
∴(x+y)^2≤2(x^2+y^2)
即：
(x+y)^2≤82，则：
-√82≤x+y≤√82.
4、xy
=x√(41-x^2)
=±√[x^2(41-x^2)]
=±√[(41^2/4)-(x^4-41x^2+41^2/4)]
=±√[(41^2/4)-(x^2-41/2)^2].
则xy的最大值为41/2,最小值为-41/2.
5、x^2+y^2=41
x^2+p^2/x^2=41
x^4-41x^2+p^2=0
判别式△=41^2-4p^2≥0,即：
p^2≤41^2/4
-41/2≤p≤41/2
此时得xy=p最大值=41/2，最小值=-41/2.
6、将xy表示成三角函数，进而得xy的取值范围。
由x^2+y^2=41，设x=√41cost，y=√41sint，则：
xy=√41cost*√41sint
=41*(1/2)sin2t
=(41/2)sin2t
当sin2t=1时，x+y有最大值=41/2；
当sin2t=-1时，x+y有最小值=-41/2.
7、不等式法：
∵x^2+y^2≥2√(x^2*y^2)=2|xy|
∴|xy|≤(x^2+y^2)/2=41/2
即：-41/2≤xy≤41/2.
则xy的最大值为41/2,最小值为-41/2.
